Question

如图示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC中点，且AB=BC=2，∠CBD=45°．
（1）求证：CD⊥面ABC；
（2）求直线BD与面ACD所成角的大小．

Answer 1

（1）证明：∵BD是底面圆的直径，∴∠BCD=90°，∴CD⊥BC；
由圆柱可得：母线AB⊥底面BCD，∴AB⊥CD；
又AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．
（2）连接DE，由（1）可知：CD⊥BE．
∵E是AC的中点，AB=BC，∠ABC=90°．
∴BE⊥AC，
又AC∩CD=C，∴BE⊥平面ACD．
∴∠BDE是直线BD与面ACD所成的角．
在Rt△ABC中，AB=BC=2，AE=EC，∴BE=

1

2

AC=

1

2

×

22×2

=

2

，
在Rt△BCD中，BC=2，∠CBD=45°，∴BD=2

2

．
由BE⊥平面ACD，∴BE⊥ED，即∠BED=90°．
∴sin∠BDE=

BE

BD

=

2

2 2

=

1

2

，
又∠BDE是锐角，∴∠BDE=30°．