Question

【题目】已知函数

（1）当时,求过点处的切线方程

（2）若函数有两个不同的零点,求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

【解析】分析：（1）求出，由的值可得切点坐标，由的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；(2) ，先排除不合题意，当时，再讨论两种情况：（i）当时， ，则无零点，不符合题意，（ii）当时，利用函数单调性结合零点存在定理可得在区间上有一个零点，在区间上有一个零点，从而可得结果.

详解：(1)当时, ,

当时, ,所以点

又由,得,

所以,所以切线方程为 .

（2）函数f(x)的定义域为： .

，

当a≤0时，易得，则在上单调递增，

则至多只有一个零点，不符合题意，舍去.

②当a>0时，令得： x=a，则

	+	0	-
	增	极大	减

∴ =f(a)=a(lna+a-1)

设g(x)=lnx+x-1，∵，则g(x)在上单调递增.

又∵g(1)=0，∴x<1时， g(x)<0； x>1时， g(x)>0.

（i）当时， ，则f(x)无零点，

不符合题意，舍去 .

（ii）当a>1时， ，

∵ ，∴在区间上有一个零点，

∵ ，

设h(x)=lnx-x， (x>1)，∵，

∴h(x)在上单调递减，则，

∴，

∴f(x)在区间(a,3a-1)上有一个零点，综合知f(x)恰有两个零点.

综上所述，当f(x)有两个不同零点时， a的取值范围是.