Question

如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2，E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A₁、B₁、C₁，已知OA₁=．

（1）证明：B₁C₁平面OAH；

（2）求二面角O-A₁B₁-C₁的大小．

Answer 1

解：（1）依题设：EF是的中位线，所以，EF//B₁C₁，则EF//平面OBC，所以EF//B₁C₁，

又H是EF的中点，所以AH⊥EF，则AH⊥B₁C₁

   因为：OA⊥OB，OA⊥OC，所以OA⊥平面OBC，则OA⊥B₁C₁，

因此，B₁C₁⊥平面OAH。

（2）作OA⊥A₁B₁于N,连C₁N

     因为

     根据三垂线定理知，

   就是二面角O-A₁B₁-C­₁的平面角。

      作EM⊥OB₁于M，则EM∥OA,则M是OB的中点，则EM=OM=1

      设OB₁=x,由得，

      在中，.

      所以,故二面角O-A₁B₁-C₁为

解法二：（1）以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，O-xyz

   则A（2，0，0），B（0，0，2），C（0，2，0），E（1，0，1），F（1，1，0）H（1，）

所以

所以

所以

由

（2）由已知

     则

     由与共线得：存在有得

      

∴B₁（0，0，3）

同理：（0，3，0）

∴

设是平面A₁B₁C₁的一个法量

∴

所以二面角的大小为.