Question

已知函数y=lg（1+tx-x²）的定义域为M，其中t∈R．
（1）若t=

3

2

，求函数f（x）=3•4^x-2^x+2在M上的最小值及相应的x的值；
（2）若对任意x₁，x₂∈M函数g（x）=

2x-t

x2+1

满足|g（x₁）-g（x₂）|＜3，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）t=

3

2

时，求出函数y的定义域M，判定f（x）在M上的单调性与最值情况，求出结果；
（2）利用导函数判定函数g（x）在M上的单调性，求出|g（x₁）-g（x₂）|的表达式，根据题中条件求出t的取值范围．

解答：解：（1）t=

3

2

时，函数y=lg（1+tx-x²）的定义域为1+

3

2

 x-x2＞0，解得-

1

2

＜x＜2，即M=(-

1

2

，  2)．
∵f（x）=3•4^x-2^x+2=3•（2^x）²-4•2^x，
令2^x=t，则

2

2

＜t＜4，f(x)=g(t)=3t2-4t=3(t-

2

3

)2+

4

3

，
∴g（t）在(

2

2

，  4)上是增函数．
∴g（t）在(

2

2

，  4)上无最小值，即f（x）在M上无最小值．
（2）∵函数g（x）=

2x-t

x2+1

，∴g′(x)=

2(1+tx-x2)

(x2+1)2

＞0，
∴g（x）在M上是增函数； 
设1+tx-x²=0的两根为α，β（α＜β），则α+β=t，αβ=-1，M=（α，β）；
∴g(β)-g(α)=

2β-t

β2+1

-

2α-t

α2+1

=

(2β-t)(α2+1)-(2α-t)(β2+1)

(α2+1)(β2+1)

=

2αβ(α-β)-2(α-β)-t(α-β)(α+β)

(αβ)2+(α+β)2-2αβ+1

=

-4(α-β)-t2(α-β)

4+t2

=β-α
=

(α+β)2-4αβ

=

t2+4

．
由题意知，要使原不等式恒成立，只需

t2+4

＜3，
解得t∈[-

5

，   

5

]；
∴t的取值范围是[-

5

，

5

]．

点评：本题考查了复合函数的定义域与值域、单调性等综合性知识，是容易出错的题目．