Question

已知函数y=lg（x²+2x+a）
（1）若函数定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数的值域为[0，+∞），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）给出的函数是对数型的复合函数，函数的定义域为实数集，说明取任意实数都有真数大于0，然后结合“三个二次”求解；
（2）对数型复合函数的外层函数时增函数，要使函数的值域为[0，+∞），只需要内层函数的值域是[1，+∞），然后求解使内层二次函数的最小值为1的a值．

解答：解：（1）函数y=lg（x²+2x+a）的定义域为R，说明对任意x∈R，x²+2x+a＞0恒成立，
因为二次函数y=x²+2x+a的图象开口向上，所以只需2²-4a＜0即可，所以a＞1；
（2）令g（x）=x²+2x+a，函数y=lg（x²+2x+a）的值域为[0，+∞），
即函数g（x）=x²+2x+a的值域是[1，+∞），由

4a-22

4

=1，得：a=2．
所以使函数y=lg（x²+2x+a）的值域为[0，+∞）的a的取值范围是{2}．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了逆向思维方式，训练了利用“三个二次”结合求解不等式，此题是基础题，但容易出错．