Question

设矩阵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标伸长到原来的2倍的伸压变换矩阵．
（1）求逆矩阵M^-1；
（2）求椭圆

x2

9

+

y2

4

=1在矩阵M^-1作用下变换得到的新曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件，求出矩阵M，由M•M^-1=E，求出M^-1．
（2）设椭圆上任意一点（x₀，y₀），变换后的坐标（x₀′，y₀′），根据逆变换公式，知道之间的关系，代入，即可求出新曲线方程．

解答：解：（1）M-1=

1 3 0 0 1 2

．（5分）
（2）任意选取椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上的一点P（x₀，y₀），它在矩阵M-1=

1 3 0 0 1 2

对应的变换下变为P'（x₀′，y₀′），则有

1 3 0 0 1 2

x0 y0

=

x ′ 0 y ′ 0

，故

x0=3 x ′ 0 y0=2 y ′ 0

．
又因为点P在椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上，所以

x 2 0

9

+

y 2 0

4

=1，即有

9 x ′ 0 2

9

+

4 y ′ 0 2

4

=1，
因此x₀^'2+y₀^'2=1．
从而椭圆

x2

9

+

y2

4

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程为x²+y²=1．（10分）

点评：本题主要考查逆矩阵、逆变换及其计算能力，难度比较大，做题要仔细．