Question

（选修4-2：矩阵与变换）
设矩阵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，且纵坐标伸长到原来4倍的伸压变换，求椭圆

x2

9

+

y2

16

=1在M^-1的作用下得到的新曲线的方程．

Answer 1

分析：根据题意，矩阵M^-1对应的变换将坐标平面上的点的横坐标收缩到原来的

1

3

倍，且纵坐标收缩到原来

1

4

倍．由此设 P（m，n）是已知椭圆上一点，在M^-1的作用下P点变为P'（x，y），得到用x、y表示P的坐标的式子并代入椭圆方程，化简即可得到所求新曲线的方程．

解答：解：∵矩阵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，且纵坐标伸长到原来4倍的伸压变换，
∴矩阵M^-1对应的变换是矩阵M对应变换的逆变换，
可得M^-1是将坐标平面上的点的横坐标收缩到原来的

1

3

倍，且纵坐标收缩到原来

1

4

倍的伸压变换
因此，设P（m，n）是椭圆

x2

9

+

y2

16

=1上一点，在M^-1的作用下P点变为P'（x，y）在新曲线上
∵

x= 1 3 m y= 1 4 n

，∴

m=3x n=4y

，得P（3x，4y）
∵P（3x，4y）是椭圆

x2

9

+

y2

16

=1上一点，
∴

(3x)2

9

+

(4y)2

16

=1，化简得x²+y²=1，即为所求新曲线的方程．

点评：本题给出矩阵变换，求已知椭圆在矩阵M^-1对应的变换下所得新曲线的方程，着重考查了曲线与方程、矩阵变换等知识点，属于中档题．