Question

函数y=a^x（a＞0，a≠1），在[0，2]上的最大值与最小值之和为5，则a=（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．2
• D．4

Answer 1

分析：对底数a分类讨论，根据单调性，即可求得最大值与最小值，列出方程，求解即可得到a的值．

解答：解：∵函数y=a^x（a＞0，a≠1），
①当0＜a＜1时，函数y=a^x在[0，2]上单调递减，
∴y_max=a⁰，y_min=a²，
∵函数y=a^x（a＞0，a≠1），在[0，2]上的最大值与最小值之和为5，
∴a⁰+a²=5，解得a=±2，
又∵0＜a＜1，
∴a无解；
②当a＞1时，函数y=a^x在[0，2]上单调递增，
∴y_max=a²，y_min=a⁰，
∵函数y=a^x（a＞0，a≠1），在[0，2]上的最大值与最小值之和为5，
∴a⁰+a²=5，解得a=±2，
又∵a＞1，
∴a=2．
综合①②，可得a=2．
故选C．

点评：本题主要考查指数函数的单调性的应用，对于指数函数，如果底数a的值不确定范围，则需要对底数a进行分类讨论，便于研究指数函数的图象和性质．属于中档题．