题目内容

在数列{a_n}中，a₁=1，并且对于任意n∈N^*，都有 $数学公式$ ．
（1）证明数列{ $数学公式$ }为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_{na_n+1}}的前n项和为T_n，求使得 $数学公式$ 的最小正整数n．

解：（1） $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
∴数列 $\text{[math]}$ 是首项为1，公差为2的等差数列，（4分）
∴ $\text{[math]}$ ，
从而a_n=2n-1．（6分）
（2）因为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （8分）
所以T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （10分）
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，最小正整数n为91．（12分）
分析：（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）因为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，得最小正整数n为91．
点评：本题考查数列的通项公式的求法和前n项和的求法，解题时要注意构造成法和裂项求和法的合理运用．

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在数列{a_n}中，a 1=

，并且对任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

}的前n项和为T_n，证明：

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（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

}的前n项和为T_n，证明：