Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，又点A和B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆方程，由焦距为4，离心率为，结合b²=a²-c²，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）先考虑A点在B点的左方，利用M分有向线段所成的比为2，结合椭圆的定义，即可求得A，B的坐标，从而可得直线AB的斜率，进而可得AB的方程；点在B的右方时根据对称性，可得所求直线AB的方程．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为（b＞a＞0）（1分） 
由焦距为4，可得2c=4，∴c=2，
又，故a=3（2分）
∴b²=a²-c²=5，
∴所求椭圆方程为（3分）
（Ⅱ）M坐标为（0，2），设A点在B点的左方，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，故有（5分）即y₁+2y₂=6，
又M相应的准线方程是，A到准线距离，B到准线距离（6分），
∵，（7分）
∴，
∴得4y₂-2y₁=9②
②与①联立解得，代入椭圆方程得，
∴直线AB的斜率（9分），
∴AB的方程为（10分），
如果点在B的右方时根据对称性，则所求直线AB的方程为．（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定A，B的坐标是关键．