Question

【题目】如图，在四棱锥中，，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点.

（1）求证：；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

试题分析：（1）由于三角形为等腰三角形，所以，结合面面垂直的性质定理，有；（2）连接，易得所以四边形是平行四边形，所以是异面直线与所成的角.解直角三角形得余弦值为；（3）假设存在点，使得它到平面的距离为.设，则，利用等体积法，求得，且.

试题解析：

（1）证明：在中，为中点，所以.

又，

所以.

（2）解：连接，在直角梯形中，，

有且，所以四边形是平行四边形，

所以.

由（1）知，为锐角，

所以是异面直线与所成的角.

因为，在中，，所以，

在中，因为，所以，

在中，，所以，

所以异面直线与所成的角的余弦值为.

（3）解：假设存在点，使得它到平面的距离为.

设，则，由（2）得，

在中，，

所以，

由得，所以存在点满足题意，此时.