题目内容

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列三个叙述：
①a：b：c=sinA：sinB：sinC
②a：b：c=cosA：cosB：cosC
③a：b：c=A：B：C
以上三个叙述中能作为“△ABC是等边三角形”的充分必要条件的个数为（　　）
分析：根据正弦定理和三角公式进行推理和证明即可．
解答：解：①根据正弦定理可知对任意三角形都有a：b：c=sinA：sinB：sinC，成立，∴△ABC不一定是等边三角形．
②若a：b：c=cosA：cosB：cosC，则由正弦定理得a：b：c=sinA：sinB：sinC，
∴a：b：c=sinA：sinB：sinC=cosA：cosB：cosC，
即
sinA
cosA
=
sinB
cosB
=
sinC
cosC
，即tanA=tanB=tanC，
∴A=B=C，∴△ABC是等边三角形，正确．
③由正弦定理 a：b=sinA：sinB 及条件 a：b=A：B，得 A：B=sinA：sinB，
∴sinA：A=sinB：B=sinC：C．
即
sinA
A
=
sinB
B
=
sinC
C
，
设函数f（x）=
sinx
x
，x∈（0，π） 则f（x）的导数f'（x）=
xcosx-sinx
x2
，
x∈（0，π）时，总有 x cosx-sinx＜0，
故f（x）是区间（0，π）上单调递减的函数，
∴若f（A）=f（B）=f（C），
则A=B=C，从而三角形是正三角形．
故正确的是②③．
故选：C．
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=
3
，A+C=2B，则sinC=（　　）
A、0B、2C、1D、-1
△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a，b，c，给出下列命题：
①若sinBcosC＞-cosBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；
②若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC一定是直角三角形；
③若bcosA=acosB，则△ABC为等腰三角形；
④在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列
（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；
（2）求角B的最大值．并判断此时△ABC的形状．
已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，
m
=(-
3
，sinA)，
n
=(cosA，1)，且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为
3
，求b，c．
已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=
3
，B=60°，则sinC=
1
1
．

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