Question

△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a，b，c，给出下列命题：
①若sinBcosC＞-cosBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；
②若sin²A+sin²B=sin²C，则△ABC一定是直角三角形；
③若bcosA=acosB，则△ABC为等腰三角形；
④在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
其中正确命题的序号是

②③④

．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①把已知条件变形只能得到0＜B+C＜π推不出是钝角三角形；
②利用正弦定理化角为边可得a²+b²=c²，从而判定三角形的形状
③利用正弦定理化边为角整理可得sin（B-A）=0，即可得出结论
④先根据大角对大边得到a＞b，再结合正弦定理化边为角即可得到结论．

解答：解：①若sinBcosC＞-cosBsinC⇒sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）＞0⇒0＜B+C＜π，所以①不一定成立；
②∵sinA=

a

2r

，sinB=

b

2r

，sinC=

c

2r

，∴

a2

4r2

+

b2

4r2

=

c2

4r2

，即a²+b²=c²，∴△ABC是直角三角形，②成立，
③若bcosA=acosB⇒2rsinBcosA=2rsinAcosB⇒sin（B-A）=0⇒A=B即③成立．
④在△ABC中，若A＞B⇒a＞b⇒2rsinA＞2rsinB⇒sinA＞sinB即④成立；
故正确命题的是②③④．
故答案为：②③④．

点评：本题是对三角形形状的判断．解决②③④的关键在于对正弦定理的应用，属于基础题，但也是易错题．