题目内容

设函数 $数学公式$
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数y=f（x）-k在[0，π）内恰有两个零点，求实数k的取值范围．

解：（1）f（x）=cos2xcos $\text{[math]}$ +sin2xsin $\text{[math]}$ -cos2x-1
= $\text{[math]}$ sin2x- $\text{[math]}$ cos2x-1=sin（2x- $\text{[math]}$ ）-1…3分
∴函数f（x）的最小正周期是T= $\text{[math]}$ =π，…5分
由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z解得kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）…7分
（2）∵0≤x＜π，f（x）的最小正周期是π，
∴-1≤sin（2x- $\text{[math]}$ ）≤1，
∴-2≤f（x）≤0，…9分
又∵函数y=f（x）-k在（0，π）内恰有两个零点，
∴-2＜k＜0，
∴k的取值范围是（-2，0）…12分
分析：（1）将y=cos（2x- $\text{[math]}$ ）-cos2x-1转化为y=sin（2x- $\text{[math]}$ ）-1，即可求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）依题意可求得-1≤sin（2x- $\text{[math]}$ ）≤1，从而有-2≤f（x）≤0，继而得-2＜k＜0．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查函数的零点与方程根的关系，考查三角函数的周期性及其求法，考查复合函数的单调性，属于中档题．