Question

（本题满分12分）设数列的前项和为，满足，且。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数， 都有：

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）
（Ⅲ）利用，推出。

试题分析：（Ⅰ）∵
∴       
   …………………………………4分
（Ⅱ）由得
检验知，满足
∴
变形可得
∴数列是以1为首项，1为公差的等差 
解得…………………………………………………7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
代入得=……………8分
∵
∴
∴
∴
即
∴
  ∴…………………………………………………12分
点评：典型题，本题首先由的故选，确定数列的通项公式是关键。不等式证明中运用了“放缩法”，本题较难。