Question

已知不等式

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

＞

1

12

loga(a-1)+

2

3

对于一切大于1的自然数n都成立．
求证：实数a的取值范围是1＜a＜

1+ 5

2

．

Answer 1

分析：先设f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

(n∈N，n≥2)，利用单调性的定义证得f（n）是关于n（n∈N，n≥2）的递增函数，从而有f(n)≥f(2)=

7

12

．要使原不等式成立，只需

1

12

loga(a-1)+

2

3

＜

7

12

，解此不等式即得．

解答：证明：设f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

(n∈N，n≥2)，
∴f(n+1)-f(n)=[

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2(n+1)

]-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

)
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，
∴f（n）是关于n（n∈N，n≥2）的递增函数，
∴f(n)≥f(2)=

7

12

．
要使原不等式成立，只需：

1

12

loga(a-1)+

2

3

＜

7

12

，
即log_a（a-1）＜-1，
从而

a-1＞0 a-1＜ 1 a

，⇒

a＞1 1- 5 2 ＜a＜ 1+ 5 2

．
∴1＜a＜

1+ 5

2

．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、不等式的证明、进行简单的演绎推理、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．