Question

已知不等式

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

1

2

[log2n]，其中n为大于2的整数，[log₂n]表示不超过log₂n的最大整数．设数列{a_n}的各项为正，且满足a₁=b（b＞0），a_n≤

nan-1

n+an-1

，n=2，3，4，…．证明：a_n＜

2b

2+b[log2n]

，n=3，4，5，…．

Answer 1

分析：欲证明：a_n＜

2b

2+b[log2n]

，设f（n）=

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，首先利用数学归纳法证不等式a_n＜

b

1+f(n)b

，再结合条件即可解决．

解答：证明：设f（n）=

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，首先利用数学归纳法证不等式a_n＜

b

1+f(n)b

，n=3，4，5．
（ⅰ）当n=3时，由a₃≤

3a2

3+a2

=

3

3 a2 +1

≤

3

3• 2+a1 2a1 +1

=

b

1+f(3)b

，知不等式成立．
（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即a_k＜

b

1+f(n)b

，则a_k+1≤

(k+1)ak

(k+1)+ak

=

k+1

k+1 ak +1

＜

k+1

(k+1)• 1+f(k)b b +1

=

(k+1)b

(k+1)+(k+1)f(k)b+b

=

b

1+(f(k)+ 1 k+1 )b

=

b

1+f(k+1)b

即当n=k+1时，不等式也成立．
由（ⅰ）（ⅱ）知，a_n＜

b

1+f(n)b

，n=3，4，5，…
又由已知不等式得a_n＜

b

1+ 1 2 [log2n]b

=

2b

2+b[log2n]

，n=3，4，5，…

点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式．设P（n）是关于自然数n的命题，若：（1）P（n₀）成立（奠基）；（2）假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立