Question

直线L：y=k（x+3）与圆O：x²+y²=4交于A、B两点，则当△AOB的面积最大时，k=______．

Answer 1

由圆O：x²+y²=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
把直线l的方程为y=k（x+3），整理为一般式方程得：kx-y+3k=0，
∴圆心O（0，0）到直线AB的距离d=

3|k|

k2+1

，（9分）
弦AB的长度|AB|=2

r2-d2

=2

4 -d2

，
∴S△ABC=

1

2

|AB|d=d

4-d2

=

d2(4-d2)

≤

d2+(4-d2)

2

=2，（11分）
当且仅当d²=2时取等号，S_△ABC取得最大值，最大值为2，
此时

9k2

k2+1

=2，解得k=±

14

7

．
故答案为：±

14

7