题目内容
(2008•成都三模)已知O为坐标原点,点E、F的坐标分别为(-
,0)、(
,0),点A、N满足
=2
,
=
(
+
),过点N且垂直于AF的直线交线段AE于点M,设点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)若轨迹C上存在两点P和Q关于直线l:y=k(x+1)(k≠0)对称,求k的取值范围;
(3)在(2)的条件下,设直线l与轨迹C交于不同的两点R、S,对点B(1,0)和向量a=(-
,3k),求
•
-|a|2取最大值时直线l的方程.
2 |
2 |
AE |
3 |
ON |
1 |
2 |
OA |
OF |
(1)求轨迹C的方程;
(2)若轨迹C上存在两点P和Q关于直线l:y=k(x+1)(k≠0)对称,求k的取值范围;
(3)在(2)的条件下,设直线l与轨迹C交于不同的两点R、S,对点B(1,0)和向量a=(-
3 |
BR |
BS |
分析:(Ⅰ)由
=
(
+
),可知N为AF中点.则MN垂直平分AF.从而有|
|=|
|.即可得|
|+|
|=|
|+|
|=|
|=2
>|
|.根据椭圆的定义可知,点M的轨迹C是以正E、F为焦点的椭圆,可求椭圆方程(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点T(x0,y0).由
,两式相减可及y0=k(x0+1)可求x0=-
,y0=-
.由中点T(x0,y0)在椭圆内部可求k的范围(3)将y=k(x+1)(k≠0)代入椭圆C:
+y2=1中,整理得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-3=0.设R(x3,y3),S(x4,y4).则x3+x4=-
,x3x4=
.y3y4=k2(x3+1)(x4+1)=k2(x3+x4+x3x4+1)=-
,代入已知向量的数量积可求k,进而可求直线方程.
ON |
1 |
2 |
OA |
OF |
MA |
MF |
ME |
MF |
MA |
ME |
AE |
3 |
EF |
|
3 |
2 |
k |
2 |
x2 |
3 |
6k2 |
1+3k2 |
3k2-3 |
1+3k2 |
2k2 |
1+3k2 |
解答:解:(Ⅰ)∵
=
(
+
),
∴N为AF中点.
∴MN垂直平分AF.
∴|
|=|
|.
∴|
|+|
|=|
|+|
|=|
|=2
>|
|.
∴点M的轨迹C是以正E、F为焦点的椭圆.…(2分)
∴长半轴a=
,半焦距c=
,
∴b2=a2-c2=1.
∴点M的轨迹方程为
+y2=1.…(2分)
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点T(x0,y0).
由
两式相减可得,
(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
∴
=-
∴-
=-
又y0=k(x0+1)
∴x0=-
,y0=-
.…(2分)
∵中点T(x0,y0)在椭圆内部,
∴
+y02<1⇒
+
<1⇒k2<1
∴k∈(-1,0)∪(0,1).
(3)将y=k(x+1)(k≠0)代入椭圆C:
+y2=1中,整理得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-3=0.
设R(x3,y3),S(x4,y4).
则x3+x4=-
,x3x4=
.
∴y3y4=k2(x3+1)(x4+1)=k2(x3+x4+x3x4+1)=-
…(2分)
∴
•
-|a|2=(x3-1)(x4-1)+y3y4-3-9k2
=x3x4-(x3+x4)+1+y3y4-3-9k2
=
+
+1-
-3-9k2=
-3-9k2=
-[
+3(1+3k2)]≤
-2
=-
.
当且仅当
=3(1+3k2),即k2=
∈(0,1)时等号成立.
此时,直线l的方程为y=(x+1).…(2分)
ON |
1 |
2 |
OA |
OF |
∴N为AF中点.
∴MN垂直平分AF.
∴|
MA |
MF |
∴|
ME |
MF |
MA |
ME |
AE |
3 |
EF |
∴点M的轨迹C是以正E、F为焦点的椭圆.…(2分)
∴长半轴a=
3 |
2 |
∴b2=a2-c2=1.
∴点M的轨迹方程为
x2 |
3 |
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点T(x0,y0).
由
|
1 |
3 |
∴
y1-y2 |
x1-x2 |
1 |
3 |
x1+x2 |
y1+y2 |
∴-
1 |
k |
1 |
3 |
x0 |
y0 |
又y0=k(x0+1)
∴x0=-
3 |
2 |
k |
2 |
∵中点T(x0,y0)在椭圆内部,
∴
x0 |
3 |
3 |
4 |
k2 |
4 |
∴k∈(-1,0)∪(0,1).
(3)将y=k(x+1)(k≠0)代入椭圆C:
x2 |
3 |
设R(x3,y3),S(x4,y4).
则x3+x4=-
6k2 |
1+3k2 |
3k2-3 |
1+3k2 |
∴y3y4=k2(x3+1)(x4+1)=k2(x3+x4+x3x4+1)=-
2k2 |
1+3k2 |
∴
BR |
BS |
=x3x4-(x3+x4)+1+y3y4-3-9k2
=
3k2-3 |
1+3k2 |
6k2 |
1+3k2 |
2k2 |
1+3k2 |
10k2-2 |
1+3k2 |
10 |
3 |
| ||
1+3k2 |
10 |
3 |
16 |
14 |
3 |
当且仅当
| ||
1+3k2 |
1 |
9 |
此时,直线l的方程为y=(x+1).…(2分)
点评:本题主要考查了利用向量的基本关系转化线段之间的关系,利用椭圆的定义求解椭圆的方程,及直线与椭圆的相交关系的点差法的应用,直线与曲线相交关系中方程方程的根与系数关系的应用,属于综合性试题
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