题目内容

(2008•成都三模)已知O为坐标原点,点E、F的坐标分别为(-
2
,0)、(
2
,0),点A、N满足
AE
=2
3
ON
=
1
2
(
OA
+
OF
)
,过点N且垂直于AF的直线交线段AE于点M,设点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)若轨迹C上存在两点P和Q关于直线l:y=k(x+1)(k≠0)对称,求k的取值范围;
(3)在(2)的条件下,设直线l与轨迹C交于不同的两点R、S,对点B(1,0)和向量a=(-
3
,3k),求
BR
BS
-|a|2
取最大值时直线l的方程.
分析:(Ⅰ)由
ON
=
1
2
(
OA
+
OF
)
,可知N为AF中点.则MN垂直平分AF.从而有|
MA
|
=|
MF
|
.即可得|
ME
|
+|
MF
|
=|
MA
|
+|
ME
|
=|
AE
|
=2
3
|
EF
|
.根据椭圆的定义可知,点M的轨迹C是以正E、F为焦点的椭圆,可求椭圆方程(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点T(x0,y0).由
x12
3
+y12=1
 
x22
3
+y22=1
 
,两式相减可及y0=k(x0+1)可求x0=-
3
2
y0=-
k
2
.由中点T(x0,y0)在椭圆内部可求k的范围(3)将y=k(x+1)(k≠0)代入椭圆C:
x2
3
+y2=1
中,整理得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-3=0.设R(x3,y3),S(x4,y4).则x3+x4=-
6k2
1+3k2
,x3x4=
3k2-3
1+3k2
.y3y4=k2(x3+1)(x4+1)=k2(x3+x4+x3x4+1)=-
2k2
1+3k2
,代入已知向量的数量积可求k,进而可求直线方程.
解答:解:(Ⅰ)∵
ON
=
1
2
(
OA
+
OF
)

∴N为AF中点.
∴MN垂直平分AF.
|
MA
|=|
MF
|

|
ME
|
+|
MF
|
=|
MA
|
+|
ME
|
=|
AE
|
=2
3
|
EF
|

∴点M的轨迹C是以正E、F为焦点的椭圆.…(2分)
∴长半轴a=
3
,半焦距c=
2

∴b2=a2-c2=1.
∴点M的轨迹方程为
x2
3
+y2=1
.…(2分)
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点T(x0,y0).
x12
3
+y12=1
 
x22
3
+y22=1
 
两式相减可得,
1
3
(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0

y1-y2
x1-x2
=-
1
3
x1+x2
y1+y2

-
1
k
=-
1
3
x0
y0

又y0=k(x0+1)
x0=-
3
2
y0=-
k
2
.…(2分)
∵中点T(x0,y0)在椭圆内部,
x0
3
+y02<1⇒
3
4
+
k2
4
<1⇒k2<1

∴k∈(-1,0)∪(0,1).
(3)将y=k(x+1)(k≠0)代入椭圆C:
x2
3
+y2=1
中,整理得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-3=0.
设R(x3,y3),S(x4,y4).
则x3+x4=-
6k2
1+3k2
,x3x4=
3k2-3
1+3k2

∴y3y4=k2(x3+1)(x4+1)=k2(x3+x4+x3x4+1)=-
2k2
1+3k2
…(2分)
BR
BS
-|a|2=(x3-1)(x4-1)+y3y4-3-9k2

=x3x4-(x3+x4)+1+y3y4-3-9k2
=
3k2-3
1+3k2
+
6k2
1+3k2
+1-
2k2
1+3k2
-3-9k2
=
10k2-2
1+3k2
-3-9k2=
10
3
-[
16
3
1+3k2
+3(1+3k2)]
10
3
-2
16
=-
14
3

当且仅当
16
3
1+3k2
=3(1+3k2)
,即k2=
1
9
(0,1)时等号成立.
此时,直线l的方程为y=(x+1).…(2分)
点评:本题主要考查了利用向量的基本关系转化线段之间的关系,利用椭圆的定义求解椭圆的方程,及直线与椭圆的相交关系的点差法的应用,直线与曲线相交关系中方程方程的根与系数关系的应用,属于综合性试题
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