题目内容

（2012•湖南）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜
π
2
）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x-
π
12
）-f（x+
π
12
）的单调递增区间．
分析：（I）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的值，再将点（
5π
12
，0）和（0，1）代入解析式，分别解得φ和A的值，最后写出函数解析式即可；
（II）先利用三角变换公式将函数g（x）的解析式化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g（x）的单调增区间
解答：解：（I）由图象可知，周期T=2（
11π
12
-
5π
12
）=π，∴ω=
2π
π
=2
∵点（
5π
12
，0）在函数图象上，∴Asin（2×
5π
12
+φ）=0
∴sin（
5π
6
+φ）=0，∴
5π
6
+φ=π+2kπ，即φ=2kπ+
π
6
，k∈z
∵0＜φ＜
π
2

∴φ=
π
6

∵点（0，1）在函数图象上，∴Asin
π
6
=1，A=2
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+
π
6
）
（II）g（x）=2sin[2（x-
π
12
）+
π
6
]-2sin[2（x+
π
12
）+
π
6
]=2sin2x-2sin（2x+
π
3
）
=2sin2x-2（
1
2
sin2x+
3
2
cos2x）=sin2x-
3
cos2x
=2sin（2x-
π
3
）
由-
π
2
+2kπ≤2x-
π
3
≤
π
2
+2kπ，k∈z
得kπ-
π
12
≤x≤kπ+
5π
12

∴函数g（x）=f（x-
π
12
）-f（x+
π
12
）的单调递增区间为[kπ-
π
12
，kπ+
5π
12
]k∈z
点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，根据图象求函数的解析式，利用函数解析式求复合三角函数单调区间的方法，属基础题
练习册系列答案
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.
z
|=
10
10
．
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（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；
（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，证明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=K恒成立．
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8
2m+1
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b
a
的最小值为（　　）
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（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．
（2）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．
（2012•湖南）已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C的方程为（　　）

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