Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n且S_n=$\frac{3}{2}$a_n-n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式．
（2）求证：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＞$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 （1）由数列的通项和求和的关系，即当n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，有数列{a_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列；
（2）要证$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＞$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{8}$，即证$\frac{2}{8}$+$\frac{8}{26}$+…+$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n+1}-1}$＞$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{8}$，由$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{2}{3（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{2}{8•{3}^{n}+（{3}^{n}-3）}$≥$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4•{3}^{n}}$，运用等比数列的求和公式，结合不等式的性质即可得证．

解答 证明：（1）当n=1时，a₁=S₁=$\frac{3}{2}$a₁-1，
解得a₁=2，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1
═$\frac{3}{2}$a_n-n-$\frac{3}{2}$a_n-1+n-1，
即有a_n=3a_n-1+2，
即为a_n+1=3（a_n-1+1），
则数列{a_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
即有a_n+1=3ⁿ，即a_n=3ⁿ-1；
（2）要证$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＞$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{8}$，即证
$\frac{2}{8}$+$\frac{8}{26}$+…+$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n+1}-1}$＞$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{8}$，
由$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{2}{3（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{2}{8•{3}^{n}+（{3}^{n}-3）}$≥$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4•{3}^{n}}$，（仅当n=1时取得等号），
则$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＞$\frac{1}{3}$•n-$\frac{1}{4}$•$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{8}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查不等式的证明，注意运用放缩法和不等式的性质，属于中档题．