Question

【题目】已知函数，.

（1）当，时，求函数的最大值；

（2）若函数存在唯一零点，且，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）当时，求得，根据导数求得函数的单调性，进而求得函数的最大值，得到答案．

（2）求得，分类讨论求得函数的单调区间，结合题意和函数零点的概念，即可求解．

（1）当时，函数，则，

当或时，；

当时，，

所以函数在，上单调递增，在上单调递减，

又由，，

所以时，的最大值为1.

（2）由函数，则，

①当时，由，得或，在上是增函数，

又由，，

∴在上有零点，不合题意，

②当时，有两个实数根，即函数有两个零点，不合题意，

③当时，由，得，由，得或，

所以函数单调增区间为，单调减区间为，，

因为函数存在唯一零点，且，

则满足，即，因为，所以，

又由，且，

所以有唯一零点，且，

所以实数的取值范围是.