Question

过点P（2，1）的直线与抛物线y²=8x交于A、B两点，且

PA

+

PB

=

0

，则此直线的方程为（　　）

• A、x-4y+2=0
• B、4x-y-7=0
• C、x-8y+6=0
• D、8x-y-15=0

Answer 1

分析：设出直线的斜率，根据P的坐标写出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，由

PA

+

PB

=

0

得到P为线段AB的中点，根据韦达定理及线段的中点坐标公式可得两个根相加等于P横坐标的2倍，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线方程即可．

解答：解：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y-1=k（x-2）即y=kx+1-2k，
联立直线与抛物线方程得：

y=kx+1-2k y2=8x

，消去y得：k²x²+（2k-4k²+8）x+（1-2k）²=0，
设直线与抛物线的两交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

PA

+

PB

=

0

得到P为线段AB的中点，
则x₁+x₂=-

2k-4k2+8

k2

=4，即k=4．
所以此直线的方程为：y=4x-7，即4x-y-7=0
故选B．

点评：此题考查学生掌握向量相加等于0向量的意义，灵活运用韦达定理及线段的中点坐标化简求值，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道综合题．