Question

5．设y=f（x）是二次函数，且f（0）=8及f（x+1）-f（x）=-2x+1
（1）求f（x）的解析式
（2）求函数y=log₃f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=8可求c，由f（x+1）-f（x）=-2x+1可构造关于a，b的方程组，可求解．
（2）结合对数函数的单调性以及一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=8，∴c=8
又f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c，
∵f（x+1）-f（x）=-2x+1
∴a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b=-2x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=-2\\ a+b=1\end{array}\right.$，
∴a=-1，b=2
∴f（x）=-x²+2x+8．
（2）∵f（x）=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
∴由y=log₃f（x）得0＜f（x）≤9，
则y=log₃f（x）≤log₃9=2，
即函数的值域为（-∞，2]．

点评 本题主要考查函数解析式以及函数值域的求解，根据一元二次函数的性质，利用待定系数法是解决本题的关键．