Question

△ABC 的内心为I，三角形内一点P 满足 ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB．求证， AP≥AI，而且等号当且仅当P=I 时成立．

Answer 1

证明：∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=∠IBC+∠ICB，故∠PBI=∠PCI，从而

P，B，C，I 四点共圆．但由内外角平分线相垂直知 B，C，I 与 BC 边上的旁切圆心T 共圆，且IT 是这个圆的直径，IT 的中点O为圆心．由于A，I，T 共线(∠BAC 的平分线)，且 P在圆周上，AP+PO≥AO=AI+IO ， PO=IO，故AP≥AI．

等号当且仅当P 为线段AO与圆周的交点即P=I 时成立．