题目内容

（1）求函数y=3ex+xsinx的导数；
（2）已知函数y=lnx+ax2+bx在x=1和x=2处有极值，求实数a，b的值．
分析：（1）由常用函数的导数（ex）′=ex，（sinx）′=cosx和导数的乘法法则（f（x）g（x））′=（f（x））′g（x）+f（x）（g（x））′求解．
（2）先求导y′=(lnx+ax2+bx)′=
1
x
+2ax+b，再由y′|x=1=0，y′|x=2=0，建立方程组求解．
解答：解：（1）y′=3ex+sinx+xcosx；
（2）y′=(lnx+ax2+bx)′=
1
x
+2ax+b，
∵y′|x=1=0，y′|x=2=0，
∴
1+2a+b=0
1
2
+4a+b=0
?
a=
1
4
b=-
3
2
．
点评：本题主要考查求导法则和函数极值点的应用．
练习册系列答案
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设函数f（x）=x2ex+ax3+bx2在点（1，f（1））处的切线方程为y=(3e-3)x-2e+
53
．
（l）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-3ex+3x，求g（x）在[-4，t]上的最小值．
已知函数f（x）=ex+x2-x．（e=2.71828…为自然对数的底数）
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）记λ(n)=
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
，求证：e+
e
+
3e
+…+
ne
＞n+
1
n
+λ(n)（n≥2，n∈N*）．
已知函数f（x）=ex+x2-x．（e=2.71828…为自然对数的底数）
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）记λ(n)=
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
，求证：e+
e
+
3e
+…+
ne
＞n+
1
n
+λ(n)（n≥2，n∈N*）．

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