题目内容

设函数f（x）=x2ex+ax3+bx2在点（1，f（1））处的切线方程为y=(3e-3)x-2e+
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．
（l）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-3ex+3x，求g（x）在[-4，t]上的最小值．
分析：（1）已知切线方程包含两层含义：一是该点的导数值等于切线的斜率；二是该点的函数值，故可以求出函数解析式；
（2）利用导数的方法解决函数区间上的最小值问题，注意分类讨论．
解答：解：（1）f′（x）=2xex+x2ex+3ax2+2bx，∴
f/(1)=3e-3
f(1)=e-
4
3
，
解得
a=-
1
3
b=-1
，∴函数f（x）=x2ex-
1
3
x3-x2；
（2）g（x）=x2ex-
1
3
x3-x2-3ex+3x，g′（x）=（ex-1）（x+3）（x-1），
∴易得g(x)min=
(t2-3)et-
4
3
t3 -t2+3t(-4＜t＜-3)
6
e3
-9(t≥-3)
点评：导数的几何意义，是指函数在点处的导数就是点处的切线的斜率，利用导数与切线的斜率之间的关系是处理解析几何有关问题的重点，也是导数知识应用的重要方面．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=x2+|x-2|-1，x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的最小值．
设函数f（x）=x2-ax+a+3，g（x）=ax-2a．若存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是
 
．
设函数f（x）=x2+aln（x+1），a∈R．（注：(ln(x+1))′=
1x+1
）．
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求f（x2）的取值范围．
设函数f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=x，求实数m的值；
（2）当m=2时，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．
设函数f（x）=x2+x+aln（x+1），其中a≠0．
（1）若a=-6，求f（x）在[0，3]上的最值；
（2）若f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（3）求证：不等式ln
n+1
n
＞
n-1
n3
（n∈N*）恒成立．

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