Question

已知函数f（x）=e^x+x²-x．（e=2.71828…为自然对数的底数）
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）记λ(n)=

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

，求证：e+

e

+

3	e

+…+

n	e

＞n+

1

n

+λ(n)（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可得f′（x）=e^x+2x-1＞0，可得f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）问题等价于|f（x）-t|=1，f（x）=t±1有三个零点；只需[f（x）]_min=t-1，可得最小值f（0）=t-1，进而可得t值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上单调递增；可得e^x＞1-x²+x，进而可得当n≥2，n∈N^*时，e

1

n

＞1-

1

n2

+

1

n

＞1-

1

n(n-1)

+

1

n

=1-(

1

n-1

-

1

n

)+

1

n

，叠加得：e+

e

+

3	e

+…+

n	e

＞n+

1

n

+λ(n)．

解答：解：（Ⅰ）可得f′（x）=e^x+2x-1，
∵x＞0，∴f′（x）＞0
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（4分）
（Ⅱ） y=|f（x）-t|-1有三个零点，即|f（x）-t|=1，f（x）=t±1有三个零点；
由f′（x）=e^x+2x-1=0得：x=0
当x＜0时，f'（x）＜0，得：f（x）在（-∞，0）上单调递减；
当x＞0时，f'（x）＞0，得：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
所以，只需[f（x）]_min=t-1，即f（0）=t-1，∴t=2．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
f（x）＞f（0）∴e^x+x²-x＞1，∴e^x＞1-x²+x
当n≥2，n∈N^*时，e

1

n

＞1-

1

n2

+

1

n

＞1-

1

n(n-1)

+

1

n

=1-(

1

n-1

-

1

n

)+

1

n

，又e＞2
叠加得：e+

e

+

3	e

+…+

n	e

＞n+

1

n

+λ(n)，
∴当n≥2，n∈N^*时，e+

e

+

3	e

+…+

n	e

＞n+

1

n

+λ(n)成立．…（15分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及不等式证明的放缩法，属中档题．