Question

设直线?与椭圆相交于A、B两点，?又与双曲线x²-y²=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB．求直线?的方程．

Answer 1

【答案】分析：先看当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，l与椭圆、双曲线的交点为：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）直线方程分别椭圆和双曲线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₃+x₄的表达式，进而根据求得k=0或b=0，分别求得k=0时和b=0时直线方程；进而看直线l与x轴垂直时，设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可求得交点坐标，根据求得c，最后综合可得答案．
解答：解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，

l与椭圆、双曲线的交点为：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
依题意有，
由
∴

若k=±1，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1∴
由


故l的方程为
（ii）当b=0时，由（1）得
由
故l的方程为
再讨论l与x轴垂直的情况．
设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得，综上所述，
故l的方程为、和
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．当直线与圆锥曲线相交时，应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．