Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）．
（i）若|AB|=

4 2

5

，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且

QA

•

QB

=4．求y₀的值．

Answer 1

分析：（1）由离心率求得a和c的关系，进而根据c²=a²-b²求得a和b的关系，进而根据

1

2

×2a×2b=4求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）（i）由（1）可求得A点的坐标，设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB|进而求得k，则直线的斜率可得．
（ii）设线段AB的中点为M，由（i）可表示M的坐标，看当k=0时点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，进而根据

QA

•

QB

=4求得y₀；当k≠0时，可表示出线段AB的垂直平分线方程，令x=0得到y₀的表达式根据

QA

•

QB

=4求得y₀；综合答案可得．

解答：解：（Ⅰ）由e=

c

a

=

3

2

，得3a²=4c²．
再由c²=a²-b²，解得a=2b．
由题意可知

1

2

×2a×2b=4，即ab=2．
解方程组

a=2b ab=2

得a=2，b=1．
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2，0）．
设点B的坐标为（x₁，y₁），直线l的斜率为k．
则直线l的方程为y=k（x+2）．
于是A、B两点的坐标满足方程组

y=k(x+2) x2 4 +y2=1.

消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．
由-2x1=

16k2-4

1+4k2

，得x1=

2-8k2

1+4k2

．从而y1=

4k

1+4k2

．
所以|AB|=

(-2- 2-8k2 1+4k2 )2+( 4k 1+4k2 )2

=

4 1+k2

1+4k2

．
由|AB|=

4 2

5

，得

4 1+k2

1+4k2

=

4 2

5

．
整理得32k⁴-9k²-23=0，即（k²-1）（32k²+23）=0，解得k=±1．
所以直线l的倾斜角为

π

4

或

3π

4

．
（ii）设线段AB的中点为M，
由（i）得到M的坐标为(-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

)．
以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标是（2，0），
线段AB的垂直平分线为y轴，
于是

QA

=(-2，-y0)，

QB

=(2，-y0)．
由

QA

•

QB

=4，得y0=±2

2

．
（2）当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
y-

2k

1+4k2

=-

1

k

(x+

8k2

1+4k2

)．
令x=0，解得y0=-

6k

1+4k2

．
由

QA

=(-2，-y0)，

QB

=(x1，y1-y0)，

QA

•

QB

=-2x1-y0(y1-y0)
=

-2(2-8k2)

1+4k2

+

6k

1+4k2

(

4k

1+4k2

+

6k

1+4k2

 )
=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

=4，
整理得7k²=2．故k=±

14

7

．
所以y0=±

2 14

5

．
综上，y0=±2

2

或y0=±

2 14

5

．

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力．