Question

【题目】如图，矩形中，，，为的中点．把沿翻折，使得平面平面．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求所在直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）证明空间中两异面直线垂直的常用方法为先证明直线与平面垂直，再证明另一条直线在这个平面内；（Ⅱ）用等体积法求解，或建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量的夹角求解．

解：（Ⅰ）证明：∵为的中点，

矩形中，，，

∴，则，

∴．

∵平面平面，

平面平面，

∴平面，

∴．

（Ⅱ）解法一：取的中点，连接，，则．

∵平面平面，平面平面，

∴平面，

∴，

设点到平面的距离为，

∴．

在中，，，则，

∴，则．

设所在直线与平面所成角为，

∵，∴，

即所在直线与平面所成角的正弦值为

解法二：取的中点，连接，则，

取的中点，连接，则，

∴平面，

∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建

立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，

∴，，，

∴设为平面的一个法向量，

∴，，

所以，令，则

∴．

设所在直线与平面所成角为，

∴，

即所在直线与平面所成角的正弦值为．