题目内容

在直角梯形ABCD中，AD∥BC， $数学公式$ ，∠ABC=90°，如图1．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2．
（Ⅰ）求证：CD⊥AB；
（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出 $数学公式$ 的值；若不存在，说明理由．

（Ⅰ）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD．…（2分）
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．
∴CD⊥平面ABD．…（3分）
又∵AB?平面ABD，∴CD⊥AB．…（4分）
（Ⅱ）解：以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（1，1，0）．
∴ $\text{[math]}$ ．…（6分）
设平面ACD的法向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
令x=1，得平面ACD的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
∴点M到平面ACD的距离 $\text{[math]}$ ．…（8分）
（Ⅲ）解：假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°．…（9分）
设 $\text{[math]}$ ，则N（2-2λ，2λ，0），
∴ $\text{[math]}$ ，
又∵平面ACD的法向量 $\text{[math]}$ 且直线AN与平面ACD所成角为60°，
∴ $\text{[math]}$ ，…（11分）
可得8λ²+2λ-1=0，
∴ $\text{[math]}$ （舍去）．
综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60°，此时 $\text{[math]}$ ．…（13分）
分析：（Ⅰ）先证明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，利用线面垂直的性质可得CD⊥AB；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ACD的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，进而可求点M到平面ACD的距离；
（Ⅲ）假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°，设 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，利用向量的夹角公式，建立方程，即可求得结论．
点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．