Question

【题目】已知函数为奇函数, 为常数.

（1）确定的值；

（2）求证： 是上的增函数；

（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3) .

【解析】试题分析：

（1）由是奇函数可得，从而，整理得，比较系数得，验证得不合题意，故。（2）设，做差比较可得，故，即，证得结论成立。（3）分离参数得在上恒成立，设，根据单调性求得，从而可得结论。

试题解析：

（1）∵函数是奇函数，

，

即

∴，

整理得，

∴，

解得，

当时， ，不合题意舍去，

∴。

（2）由（1）可得，

设，

则，

∵,

∴

∴,

∴,

∴，即.

∴是上的增函数.

（3）依题意得在上恒成立，

设， ，

由（2）知函数在上单调递增，

∴当，

所以.

故实数的取值范围为.