Question

如图，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q．若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：欲求PQ中点M的轨迹方程，需知P、Q的坐标．思路一，P、Q是直线l与抛物线C的交点，故需求直线l的方程，再与抛物线C的方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式可求得M的轨迹方程；思路二，设出P、Q的坐标，利用P、Q的坐标满足抛物线C的方程，代入抛物线C的方程相减得PQ的斜率，利用PQ的斜率就是l的斜率，可求得M的轨迹方程．
解答：解：设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、M（x，y），依题意知x₁≠0，y₁＞0，y₂＞0．
由y=x²，①
得y′=x．
∴过点P的切线的斜率k_切=x₁，∴直线l的斜率k_l=-=-，
直线l的方程为y-x₁²=-（x-x₁）．②
方法一：联立①②消去y，得x²+x-x₁²-2=0．
∵M为PQ的中点，
∴x==-，y=x₁²-（x-x₁）．消去x₁，得y=x²++1（x≠0），
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²++1（x≠0）．
方法二：由y₁=x₁²，y₂=x₂²，x=，
得y₁-y₂=x₁²-x₂²=（x₁+x₂）（x₁-x₂）=x（x₁-x₂），则x==k_l=-，
∴x₁=-．
将上式代入②并整理，得y=x²++1（x≠0），
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²++1（x≠0）．
点评：本题考查抛物线的应用，及轨迹方程的求法，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解．