Question

19．若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，0＜x≤1}\\{\frac{{x}^{2}+2}{2x}，x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）=k（x-1）有两个实根，则实数k的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{ln2}$]．

Answer 1

分析 作函数图象，结合图象讨论，由分段函数分别求在各段上解的个数，从而综合讨论即可．

解答 解：∵方程f（x）=k（x-1）有两个实根，
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，0＜x≤1}\\{\frac{{x}^{2}+2}{2x}，x＞1}\end{array}\right.$与y=k（x-1）的图象有两个不同的交点，
作其图象如右图，
当x＞1时，方程f（x）=k（x-1）可化为k=$\frac{{x}^{2}+2}{2x（x-1）}$，
令F（x）=$\frac{{x}^{2}+2}{2x（x-1）}$，则F′（x）=$\frac{{x}^{2}+2}{2x（x-1）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{-（x+2）^{2}+6}{{x}^{2}（x-1）^{2}}$＜0，
∴F（x）在（1，+∞）上单调递减；
又∵$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{{x}^{2}+2}{2x（x-1）}$=$\frac{1}{2}$，
∴当k＞$\frac{1}{2}$时，方程f（x）=k（x-1）在（1，+∞）上有一个解，
当k$≤\frac{1}{2}$时，方程f（x）=k（x-1）在（1，+∞）上无解；
当点（1，0）是y=log₂x的切点时，y′=$\frac{1}{ln2}$；
故当k＞$\frac{1}{ln2}$时，直线y=k（x-1）与y=log₂x在（0，1]上有两个交点，
当k≤$\frac{1}{ln2}$时，直线y=k（x-1）与y=log₂x在（0，1]上有一个交点（1，0），
结合讨论可知，
当k∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{ln2}$]时，方程f（x）=k（x-1）有两个实根，
故答案为：（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{ln2}$]．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，同时考查了分类讨论的思想．