Question

已知数列的各项都是正数，且对任意都有，其中为数列的前项和.
（1）求、；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1），；（2）；（3）.

试题分析：（1）分别令和代入题干中的等式求出和的值；（2）利用定义法进行求解，在原式中利用替换得到，将此等式与原式作差得到
，再次利用定义法得到数列为等差数列，最后利用等差数列的通项公式进行求解；（3）利用化简得到，对进行分奇偶讨论求出的取值范围.
试题解析：（1）令，则，即，所以或或，
又因为数列的各项都是正数，所以，
令，则，即，解得或或，
又因为数列的各项都是正数，所以，
（2），          ①
， ②
由①②得，
化简得到， ③
，④
由③④得，
化简得到，即，
当时，，所以，
所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列，
；
（3），
因为对任意的，都有恒成立，即有，
化简得，
当为奇数时，恒成立，，即，
当为偶数时，恒成立，，即，
，故实数的取值范围是.