Question

设项数均为（）的数列、、前项的和分别为、、.已知集合=.
（1）已知，求数列的通项公式；
（2）若，试研究和时是否存在符合条件的数列对（，），并说明理由；
（3）若，对于固定的，求证：符合条件的数列对（，）有偶数对.

Answer 1

（1）；（2）时，数列、可以为（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，时，数列对（，）不存在.（3）证明见解析．

试题分析：（1）这实质是已知数列的前项和，要求通项公式的问题，利用关系来解决；（2）时，可求出，再利用
=，可找到数列对（，）（注意结果不唯一），当时，由于，即，可以想象，若存在，则应该很大（体现在），研究发现（具体证明可利用二项展开式，
，注意到，展开式中至少有7项，故，下面证明这个式子大于，应该很好证明了），这不符合题意，故不存在；（3）可通过构造法说明满足题意和数列对是成对出现的，即对于数列对（，），构造新数列对，（），则数列对（，）也满足题意，（要说明的是及=且数列与，与不相同（用反证法，若相同，则，又，则有均为奇数，矛盾）．
试题解析：（1）时，
时，，不适合该式
故，                       4分
（2），
时，
                6分
当时，，，，
=
数列、可以为（不唯一）：
6,12,16,14；2,8,10,4    ②  16,10,8,14；12,6,2,4           8分
当时，


此时不存在.故数列对（，）不存在.                10分
另证：
当时，
（3）令，（）        12分

又=，得

=
所以，数列对（，）与（，）成对出现。         16分
假设数列与相同，则由及，得，，均为奇数，矛盾！
故，符合条件的数列对（，）有偶数对。               18分项和与的关系；（2）观察法，二项展开式证明不等式；（3）构造法．