Question

14．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是任意非零平面向量，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，如果x₁，x₂是方程$\overrightarrow{a}$x²+$\overrightarrow{b}$x+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$（x∈R）的两个实数根，试用反证法证明x₁=x₂．

Answer 1

分析 将x₁，x₂代入方程，得两式，这两式分别与$\overrightarrow{b}$点积运算，由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，得${b}^{2}{x}_{1}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=0$，${b}^{2}{x}_{2}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=0$，假设x₁≠x₂，上两式式必有一式不成立，事实上两式同时成立，故假设不成立，由此证明x₁=x₂．

解答 解：将x₁，x₂代入方程，得：
$\overrightarrow{a}{{x}_{1}}^{2}+\overrightarrow{b}{x}_{1}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$，①
$\overrightarrow{a}{{x}_{2}}^{2}+\overrightarrow{b}{x}_{2}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$，②
两式分别与$\overrightarrow{b}$点积运算，得：
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{{x}_{1}}^{2}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{b}{x}_{1}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=0$，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{{x}_{2}}^{2}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}{x}_{2}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=0$，
∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
整理，得${b}^{2}{x}_{1}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=0$，③
${b}^{2}{x}_{2}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=0$，④
假设x₁≠x₂，又b≠0，③④式可看作一次函数，
即有一个根，
则③④式必有一式不成立，
事实上③④式同时成立，故假设不成立，
∴x₁=x₂．

点评 本题考查方程两根相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质和反证法的合理运用．