Question

9．已知菱形ABCD中，∠DAB=60°，点G是正△PAD的边AD的中
，平面PAD⊥平面ABCD．
求证：（1）BG⊥平面PAD；
（2）AD⊥PB．

Answer 1

分析 （1）连接BD，根据条件可知△ABD是正三角形，而G为AD边的中点，则BG⊥AD，BG?平面ABCD又平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD=AD，根据面面垂直的性质定理可知BG⊥平面APD；
（2）连接PG，由侧面PAD为正三角形，G为AD边的中点得到AD⊥PG，再由（1）可知BG⊥AD，PG，BG?平面PBG，PG∩BG=G，根据线面垂直的判定定理可知AD⊥平面PBG，而PB?平面PBG，根据线面垂直的性质可知AD⊥PB．

解答 证明：（1）连接BD，由已知∠DAB=60°，且四边形ABCD是菱形，
∴△ABD是正三角形，又G为AD边的中点，
∴BG⊥AD，
∵BG?平面ABCD，又平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD=AD，
∴BG⊥平面APD
（2）连接PG，由侧面PAD为正三角形，G为AD边的中点，
∴AD⊥PG，
由（1）可知BG⊥AD，PG，BG?平面PBG，PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PBG，
又PB?平面PBG，
∴AD⊥PB．

点评 本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及线面垂直的性质等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题．