Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n,已知a₁=1,S_n=na_n-2n(n-1)(n=1,2,3,…).

(1)求证:数列{a_n}为等差数列,并分别写出a_n和S_n关于n的表达式.

(2)求().

(3)是否存在自然数n,使得S₁+++…+=400?若存在,求n的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解:(1)证明:当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=na_n-(n-1)a_n-1-4(n-1),

得a_n-a_n-1=4(n=2,3,4,…).

∴数列{a_n}是以a₁=1为首项,4为公差的等差数列.

∴a_n=4n-3,

S_n=(a₁+a_n)n=2n²-n.

(2)(+ +…+)

=［+++…+］

=［()+()+()+…+()］

=(1)=.

(3)由S_n=2n²-n得=2n-1,

∴S₁+++…+=1+3+5+7+…+(2n-1)=n².

令n²=400,得n=20,∴存在满足条件的自然数n=20.