Question

已知函数f（x）=e^x（e是自然对数的底数）的图象为曲线C₁，函数g（x）=ax（a≠0）的图象为曲线C₂．
（1）若曲线C₁与C₂没有公共点，求满足条件的实数a组成的集合A；
（2）当a∈A时，平移曲线C₂得到曲线C₃，使得曲线C₃与曲线C₁相交于不同的两点，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），试用x₁，x₂表示a；
（3）在（2）的条件下试比较a与f/(

x1+x2

2

)的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）曲线C₁与C₂没有公共点，即：e^x-ax=0无解．设F（x）=e^x-ax，则F′（x）=e^x-a，要使曲线C₁与C₂没有公共点，所以a＞0，由F′（x）=0，知x=lna，由此能求出集合A．
（2）由题设知曲线C₃的斜率k=

y2-y1

x2-x1

=

ex2-ex1

x2-x1

，由此能得到a=

ex2-ex1

x2-x1

．
（3）设x₁＜x₂，f/(

x1+x2

2

)=e

x1+x2

2

，a-f/(

x1+x2

2

)=

ex2-ex1

x2-x1

-e

x1+x2

2

=ex1(

ex2-x1-1

x2-x1

-e

x2-x1

2

)，由ex1＞0，只需求

ex2-x1-1

x2-x1

-e

x2-x1

2

的正负．由此能证明a＞f/(

x1+x2

2

)．

解答：解：（1）曲线C₁与C₂没有公共点，
即：e^x-ax=0无解．
设F（x）=e^x-ax，
∴F′（x）=e^x-a，
显然要使曲线C₁与C₂没有公共点，
所以a＞0，
由F′（x）=0，
∴x=lna，且F（x）=e^x-ax的减区间是：（-∞，lna），增区间是：（lna，+∞），
当x=lna时，F（x）_min=F（lna）=a-alna，
由a-alna＞0，
∴0＜a＜e．
综上：A=（0，e）…（4分）
（2）∵A=（0，e），a∈A，
∴a∈（0，e），
∵曲线C₁：f（x）=e^x，曲线C₂：g（x）=ax（a≠0），
平移曲线C₂得到曲线C₃，使得曲线C₃与曲线C₁相交于不同的两点，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
∴曲线C₃的斜率k=a=

y2-y1

x2-x1

=

ex2-ex1

x2-x1

，
∴a=

ex2-ex1

x2-x1

．…（6分）                           
（3）设x₁＜x₂，f/(

x1+x2

2

)=e

x1+x2

2

，a-f/(

x1+x2

2

)=

ex2-ex1

x2-x1

-e

x1+x2

2

=ex1(

ex2-x1-1

x2-x1

-e

x2-x1

2

)
∵ex1＞0，
以下只需求

ex2-x1-1

x2-x1

-e

x2-x1

2

的正负．
令t=x₂-x₁（t＞0）
∵

ex2-x1-1

x2-x1

-e

x2-x1

2

=

et-1

t

-e

t

2

=

1

t

(et-te

t

2

-1)，
∵

1

t

＞0，以下只需求et-te

t

2

-1的正负
设

t

2

=k(k＞0)，
∴et-te

t

2

-1=（e^k）²-2ke^k-1，
令φ（k）=（e^k）²-2ke^k-1（k＞0），
φ′（k）=2（e^k）²-2e^k-2ke^k=2e^k（e^k-k-1）（k＞0），
设ω（k）=e^k-k-1（k＞0），
∴ω′（k）=e^k-1（k＞0），
∴ω′（k）＞0，
∴ω（k）单调增，
∴ω（k）=e^k-k-1＞ω（0）=0，
∴φ′（k）＞0，
∴φ（k）单调增，
即：φ（k）=（e^k）²-2ke^k-1＞φ（0）=0
∴a-f/(

x1+x2

2

)＞0，
∴a＞f/(

x1+x2

2

)…（14分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错是计算量大，容易失误，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．