Question

设双曲线C₁的渐近线为，焦点在x轴上且实轴长为1．若曲线C₂上的点到双曲线C₁的两个焦点的距离之和等于，并且曲线C₃：x²=2py（p＞0是常数）的焦点F在曲线C₂上．
（1）求满足条件的曲线C₂和曲线C₃的方程；
（2）过点F的直线l交曲线C₃于点A、B（A在y轴左侧），若，求直线l的倾斜角．

Answer 1

【答案】分析：（1）双曲线C₁的渐近线为，焦点在x轴上且实轴长为1，可得曲线C₁的焦点坐标，设曲线C₂方程，利用曲线C₂上的点到双曲线C₁的两个焦点的距离之和等于，可求方程；曲线C₃：x²=2py（p＞0是常数）的焦点F在曲线C₂上，可求曲线C₃的方程；
（2）设直线l的方程，与抛物线方程联立，求出两根，利用向量，即可求得直线的斜率，从而可得直线的倾斜角．
解答：解：（1）双曲线C₁满足：…（1分），解得…（2分）
则，于是曲线C₁的焦点F₁（-1，0）、F₂（1，0）…（3分），
曲线C₂是以F₁、F₂为焦点的椭圆，设其方程为…（4分），
解得，即C₂：…（5分），
依题意，曲线的焦点为F（0，1）…（6分），
于是，所以p=2，曲线…（7分）
（2）由条件可设直线l的方程为y=kx+1（k＞0）…（8分），
由得x²-4kx-4=0，△=16（k²+1）＞0，
由求根公式得：，…（9分），
由得-3x₁=x₂…（10分），于是，解得…（11分），
由图知k＞0，∴，
∴直线l的倾斜角为…（12分）
点评：本题考查曲线的方程，考查双曲线的几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，联立方程是关键．