Question

（2012•广州一模）设双曲线C₁的渐近线为y=±

3

x，焦点在x轴上且实轴长为1．若曲线C₂上的点到双曲线C₁的两个焦点的距离之和等于2

2

，并且曲线C₃：x²=2py（p＞0是常数）的焦点F在曲线C₂上．
（1）求满足条件的曲线C₂和曲线C₃的方程；
（2）过点F的直线l交曲线C₃于点A、B（A在y轴左侧），若

AF

=

1

3

FB

，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析：（1）双曲线C₁的渐近线为y=±

3

x，焦点在x轴上且实轴长为1，可得曲线C₁的焦点坐标，设曲线C₂方程，利用曲线C₂上的点到双曲线C₁的两个焦点的距离之和等于2

2

，可求方程；曲线C₃：x²=2py（p＞0是常数）的焦点F在曲线C₂上，可求曲线C₃的方程；
（2）设直线l的方程，与抛物线方程联立，求出两根，利用向量，即可求得直线的斜率，从而可得直线的倾斜角．

解答：解：（1）双曲线C₁满足：

b1 a1 = 3 2a1=1

…（1分），解得

a1= 1 2 b1= 3 2

…（2分）
则c1=

a 2 1 + b 2 1

=1，于是曲线C₁的焦点F₁（-1，0）、F₂（1，0）…（3分），
曲线C₂是以F₁、F₂为焦点的椭圆，设其方程为

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1(a2＞b2＞0)…（4分），
解

2a2=2 2 a 2 2 - b 2 2 =1

得

a2= 2 b2=1

，即C₂：

x2

2

+y2=1…（5分），
依题意，曲线C3：x2=2py(p＞0)的焦点为F（0，1）…（6分），
于是

p

2

=1，所以p=2，曲线C3：x2=4y…（7分）
（2）由条件可设直线l的方程为y=kx+1（k＞0）…（8分），
由

x2=4y y=kx+1

得x²-4kx-4=0，△=16（k²+1）＞0，
由求根公式得：x1=2k-2

k2+1

，x2=2k+2

k2+1

…（9分），
由

AF

=

1

3

FB

得-3x₁=x₂…（10分），于是-3(2k-2

k2+1

)=2k+2

k2+1

，解得k2=

1

3

…（11分），
由图知k＞0，∴k=

3

3

，
∴直线l的倾斜角为

π

6

…（12分）

点评：本题考查曲线的方程，考查双曲线的几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，联立方程是关键．