题目内容
（2012•上海模拟）设C1是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0），C2是以直线2x-| 3 |
| 3 |
| 7 |
（1）求双曲线C2的标准方程；
（2）若C1与C2在第一象限内有两个公共点A和B，求p的取值范围，并求
| FA |
| FB |
（3）是否存在正数p，使得此时△FAB的重心G恰好在双曲线C2的渐近线上？如果存在，求出p的值；如果不存在，说明理由．
分析：（1）设双曲线C2的方程，利用C2是以直线2x-
y=0与2x+
y=0为渐近线，焦点是(0，
)，即可求得双曲线方程；
（2）抛物线方程与双曲线方程联立，可得一元二次方程，利用C1与C2在第一象限内有两个公共点A和B，可得p的取值范围；设A、B的坐标，用坐标表示
•
，利用韦达定理及配方法，可得
•
的最大值；
（3）由（2）知△FAB的重心G（
，
），即G（
，
），假设G恰好在双曲线C2的渐近线上，利用渐近线方程，即可求得结论．
| 3 |
| 3 |
| 7 |
（2）抛物线方程与双曲线方程联立，可得一元二次方程，利用C1与C2在第一象限内有两个公共点A和B，可得p的取值范围；设A、B的坐标，用坐标表示
| FA |
| FB |
| FA |
| FB |
（3）由（2）知△FAB的重心G（
| 2p |
| 3 |
| n+f |
| 3 |
| 2p |
| 3 |
| ||||
| 3 |
解答：解：（1）因为一个焦点是(0，
)，故焦点在y轴上，于是可设双曲线C2的方程为
-
=1（a＞0，b＞0）
∵C2是以直线2x-
y=0与2x+
y=0为渐近线，
∴
=
∵a2+b2=7
∴a=2，b=
∴双曲线方程为
-
=1；
（2）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（
，0），与双曲线方程联立消y得：4x2-6px+12=0
∵C1与C2在第一象限内有两个公共点A和B，∴△＞0，∴p＞
设A（m，n）、B（e，f），则
•
=（m-
，n）•（e-
，f）=me-（m+e）×
+
+nf=me-（m+e）×
+
+2p
由方程知me=3，m+e=
代入得
•
=-
+2
p+3=-
（p-2
）2+9，函数的对称轴为p=2
∵p＞
，∴p=2
时，
•
的最大值为9；
（3）由（2）知△FAB的重心G（
，
）
∵n+f=
+
=
∴G（
，
）
假设G恰好在双曲线C2的渐近线上，则2×
-
×
=0，∴7p2=12
p
∴p=0或p=
∵p＞
，∴p=
∴存在正数p=
，使得此时△FAB的重心G恰好在双曲线C2的渐近线上．
| 7 |
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
∵C2是以直线2x-
| 3 |
| 3 |
∴
| a |
| b |
| 2 | ||
|
∵a2+b2=7
∴a=2，b=
| 3 |
∴双曲线方程为
| y2 |
| 4 |
| x2 |
| 3 |
（2）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（
| p |
| 2 |
∵C1与C2在第一象限内有两个公共点A和B，∴△＞0，∴p＞
4
| ||
| 3 |
设A（m，n）、B（e，f），则
| FA |
| FB |
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
| p2 |
| 4 |
| p |
| 2 |
| p2 |
| 4 |
| me |
由方程知me=3，m+e=
| 3p |
| 2 |
| FA |
| FB |
| p2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
∵p＞
4
| ||
| 3 |
| 3 |
| FA |
| FB |
（3）由（2）知△FAB的重心G（
| 2p |
| 3 |
| n+f |
| 3 |
∵n+f=
| 2pm |
| 2pe |
3p2+4
|
∴G（
| 2p |
| 3 |
| ||||
| 3 |
假设G恰好在双曲线C2的渐近线上，则2×
| 2p |
| 3 |
| 3 |
| ||||
| 3 |
| 3 |
∴p=0或p=
12
| ||
| 7 |
∵p＞
4
| ||
| 3 |
12
| ||
| 7 |
∴存在正数p=
12
| ||
| 7 |
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查向量知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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