Question

【题目】已知三边是连续的三个自然数．

（Ⅰ）求最小边的取值范围；

（Ⅱ）是否存在这样的，使得其最大内角是最小内角的两倍？若存在，试求出这个三角形的三边；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（II）存在，且三边分别为．

【解析】（Ⅰ）设出三角形的三边，根据三边关系可得所求．（Ⅱ）假设存在满足条件的三角形，且最大角为，最小角为，则．然后根据正弦定理和余弦定理分别得到的值，建立方程后可得结论．

详解：（Ⅰ）设角所对的边分别是，且，

由三角形的三边关系得，

解得．

所以最小边的取值范围是．

（II）由题意得三个角中最大角为，最小角为，

假设存在，使得其最大内角是最小内角的两倍，即．

由正弦定理得，

即，

∴．

又由余弦定理得，

∴，

解得．

∴的三边分别为，

即存在唯一满足三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍，且三角形的三边分别为.

另解: 设，

三个角中最大角为，最小角为．

则,

∴，

由余弦定理得

代入上式化简得,

∴,

解得．

∴三角形的三边分别为，

即存在唯一满足三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍．