Question

19．以椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点F₁，F₂为直径的圆若和椭圆有交点，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• B． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• C． $[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$
• D． $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$

Answer 1

分析 以椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点F₁，F₂为直径的圆为：x²+y²=c²，与椭圆联立，得（b²-a²）x²=a²b²-a²c²，由此利用根的判别式能求出椭圆离心率的取值范围．

解答 解：以椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点F₁，F₂为直径的圆为：x²+y²=c²，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，得（b²-a²）x²=a²b²-a²c²，
∴${x}^{2}=\frac{{a}^{2}（{b}^{2}-{c}^{2}）}{{b}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-{b}^{2}）}{{c}^{2}}$，
∴以椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点F₁，F₂为直径的圆若和椭圆有交点，
∴$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-{b}^{2}）}{{c}^{2}}$≥0，
∴c≥b，
∴椭圆离心率的取值范围是e=$\frac{c}{a}$$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜e＜1，∴椭圆离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．