Question

(本小题满分13分)

已知函数.

（Ⅰ）若函数f(x)有三个零点，且，，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若，，求证：导函数在区间(0，2)内至少有一个零点；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数的两个零点之间的距离不小于，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）的单调递减区间是，单调递增区间是

（Ⅱ）因为，，所以，即.

因为，所以，即.                        

于是，，.  （1）当时，因为，则在区间内至少有一个零点.

                                                                        

（2）当时，因为，则在区间（1，2）内至少有一零点.

故导函数在区间(0，2)内至少有一个零点.                                

（Ⅲ）的取值范围是.     

解析:

（I）因为，又，则

.                                                   （1分）

因为x₂，x₃是方程的两根，则

，.即.                                          （2分）

又，即，所以，即，从而.

所以.                                                   （3分）

因为，由，得.

故的单调递减区间是，单调递增区间是.                  （4分）

（Ⅱ）因为，，所以，即.

因为，所以，即.                          （5分）

于是，，.   （6分）

（1）当时，因为，则在区间内至少有一个零点.

                                                                            （7分）

（2）当时，因为，则在区间（1，2）内至少有一零点.

故导函数在区间(0，2)内至少有一个零点.                                  （8分）

（Ⅲ）设m，n是导函数的两个零点，则，.

所以.           （10分）

由已知，，则，即.

所以，即或.                                （11分）

又，，所以，即.

因为，所以.                                               （12分）

综上分析，的取值范围是.                                  （13分）