Question

（本题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

       （I）求证：平面BCD；

       （II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；

       （III）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

(Ⅰ) 略(Ⅱ) （Ⅲ）

解析:

：方法一：

       （I）证明：连结OC

       ………1分

      

       在中，由已知可得

       而   

       即……………3分

        又

      平面……………5分

       （II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

       直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。……………6分

        在中，

       ……………7分

       是直角斜边AC上的中线，

     ……………8分

       异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；……………9分

       （III）解：设点E到平面ACD的距离为

              ……………11分

在中，

         ……………12分

而……………13分

         

点E到平面ACD的距离为……………14分

       方法二：

       （I）同方法一．……………5分

       （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则………………6分

       …………7分

………9分

      

异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；……………10分

       （III）解：设平面ACD的法向量为则     

…11分      

       令得是平面ACD的一个法向量．……12分

       又 点E到平面ACD的距离……14分