Question

（本题满分14分）

         如图，已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁，，E是棱CC₁上动点，F是AB中点，

   （1）求证：；

   （2）当E是棱CC₁中点时，求证：CF//平面AEB₁；

   （3）在棱CC₁上是否存在点E，使得二面角A—EB₁—B的大小是45°，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）见解析（2）见解析（3）

解析:

（1）证明：三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直棱柱，

         平面ABC   1分

         °，AC=BC=2，F是AB中点

           2分

         又      3分

         平面ABB。  4分

   （2）证明：取AB₁的中点G，联结EG，FG

         分别是棱AB、AB₁中点，

        

         又

         四边形FGEC是平行四边形，6分www

           7分

         平面AEB₁，平面AEB₁     8分

         平面AEB₁。 9分

   （3）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC₁为轴正半轴，

         建立如图所示的空间直角坐标系

         则C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4） 10分

         设，平面AEB₁的法向量

         则

         且

         于是

         所以

         取 12分www

         三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直棱柱，

         平面ABC，

         又平面ABC

        

        

        

        

         平面ECBB₁   

         是平面EBB₁的法向量，

        

         二面角A—EB₁—B的大小是45°，

         则 13分

         解得

         在棱CC₁上存在点E，使得二面角A—EB₁—B的大小是45°。

         此时   14分