Question

【题目】关于x的不等式ax2﹣3x+4≤b的解集为[a，b]，则b－a＝________．

Answer 1

【答案】4

【解析】

设f（x）x2﹣3x+4，其函数图象是抛物线，画两条与x轴平行的直线y＝a和y＝b，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y＝a应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a小于或等于抛物线的最小值且a与b所对应的函数值相等且都等于b，利用f（b）＝b求出b的值，由抛物线的对称轴求出a的值，从而求出结果．

解：画出函数f（x）＝x2﹣3x+4＝（x－2）2＋1的图象，如图，

可得f（x）min＝f（2）＝1，

由图象可知，若a>1，则不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件，

因此a≤1，此时a≤x2－3x＋4恒成立．

又不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为[a，b]，

所以a≤1<b，f（a）＝f（b）＝b，可得

由b2－3b＋4＝b，化为3b2－16b＋16＝0，

解得b＝或b＝4.

当b＝时，由a2－3a＋4－＝0，解得a＝或a＝，

不符合题意，舍去，

所以b＝4，此时a＝0，

所以b－a＝4.

故答案为：4